质点系的定义(质点系之质心)
常规的认知中,一个物体的质心在均匀重力场中等同于重心,或在直观上理解为“平衡点”、“加权中心点”、“质量中心点”等,但这些概念只是定性描述,难以捕捉到它的本质。在理论物理中,要想将质心的性质准确镶嵌在数学公式中,就要用数学的方式方法去阐述之,同时还要在实践中找到这样阐述的意义才行。
讨论的起源还是牛顿力学,其分析对象是质点,何谓质点?乃当力学分析的主要方面是物体平动时的一种抽象概念,可以理解为该物体的全部质量集中在某个空间几何点上,自转是可忽略的次要方面,这便是质点的理论含义。何谓质点系?乃是由多个质点组成的分析体系,在接下来提出质心的概念时,质点系认为是非变形质点系,即系中各质点间的相对位置不随时间发生变化。
质心的概念是基于质点系的,质心的特点是它在非变形质点系中的相对位置不变且唯一,聪明的理论物理学家根据这个特征提出质点系平均位矢的概念,用公式表示为:
式子中,Rc为物体(视为质点系)质心的位矢,ri为体系内各个质点的位矢,mi为各质点的质量。上述简单形式并非偶然,它巧妙的计算出质点系之质心的位置,且保证了质心相对位置的不变性,正因这个不变性才方便了人们对整个质点系的运动学和动力学分析。
举个例子来说明(1)式所表达的质心相对位置的不变性。下图中质点1和质点2组成一个最简单质点系,两质点质量相等,相对位置随时间不变(如图)。在参考系X-O-Y中,质点1的位矢为0,质点2的位矢为i,根据(1)式计算质点系的质心位矢为i/2;同样在参考系X-O-Y’中,计算质点系的质心位矢为0,两者为同一点,即两质点连线的中点。简单的例证说明不管参考系如何选择,或者说参考系不动,不管质点系如何运动,(1)式计算出来的质心相对位置是不变的,此相对位置不变点称为质心。
当不采用(1)式时,计算出来的质心位置则是变动的,譬如用(2)式计算,在参考系X-O-Y中,计算质点系的质心位矢为i/3;同样在参考系X-O-Y’中,计算质点系的质心位矢为0,两者所指质心位置各异,即刚体(质点系)的空间位置发生变化时,质心位置也在变动,这便与客观事实不符。
通过以上讨论我们要明白,质点系之质心必须具备相对位置不变性,这是最基本的物理事实。质心的这种不变性是牛顿质心运动定律得以成立的基础;是质点系绕轴自转时自然选择的结果。关于质心的运动,可在许多实践中得以体现。
上图中,为一个“T”型斧头的高空抛射(只受重力)运动曲线图,图中斧头的质心用黑点标出,由图可见,质心运动轨迹为一条完美的抛物线(红线),这又佐证了牛顿运动定律本质上是一个针对质点系之质心的定律,而斧头尾巴处不是质心,它的运动轨迹(如图)便不符合牛顿运动定律,这便又引出一个思考:质点系的质心位置处的微分单元是不受体系内力的!
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