我们都知道，法国几百年来一直盛产数学家，而且从未间断，这就是法国数学可以经久不衰的根源所在。法国近代数学的发展可以追溯到十七世纪，这一时期正是科学复兴和发展的时候，而法国数学界则诞生了笛卡尔和费马等伟大的数学家。而今天所介绍的是被称为“业余数学之王”的费马。

费马

费马(Pierre de Fermat，1601~1665)是法国著名数学家，出生于法国南部的图卢兹地区，父亲是家产丰厚的皮革商人，后来还到政府就职，而母亲则是当地一名议会法官的女儿。费马的家庭条件十分优渥，这就让他从小有机会接受良好的教育。和当时的传统一样，费马青少年时期接受的是家庭教育，不过比较遗憾的是，没有任何资料记录了费马这段时间内的学习情况。大约在14岁时，费马到进入图卢兹的学校学习法律。费马选择学习法律不仅仅是因为家庭的影响，也是当时法国社会的风气，在当时的法国人看来，成为律师或法官是一件非常荣耀的事。

1631年，三十岁的费马进入图卢兹政府就职，此后一生中费马一路升迁，不过这倒不是因为他政绩突出，实际上以当时的资料来看，费马的管理水平和施政水平都很一般，谈不上有什么突出的成绩。真正使得他得以升迁的除了他的贵族身份外，更多的是因为他历来廉洁奉公，真诚待人，这赢得了许多人的爱戴。直到去世，费马都在政府部门兢兢业业工作，只在工作之余才花时间在感兴趣的数学上，这也正是费马被称“业余数学之王”的原因。

和同时代的其他数学家相比，费马的一生十分平静，没有什么大起大落，显得波澜不惊。费马和自己的表妹结婚后，育有三儿两女，这些子女后来的境遇都使费马感到满意，尤其是他的大儿子克莱蒙。克莱蒙几乎继承了费马的身份和公职，最重要的是，克莱蒙在费马去世以后花费大量时间精力整理出版他父亲在几十年里完成的研究笔记，否则，费马的工作将永远石沉大海，再无问世的可能。

1665年1月12日，在处理完卡斯特雷城的一个案子后，费马因病去世，结束了他平静、诚实、正直的一生。

正如上面所说的那样，费马的一生“平淡无奇”，真正具有吸引力的就是关于他的数学的故事，例如费马素数，费马大定理等，即使过了差不多四百年，这些仍是人们津津乐道的话题。纵观费马一生，他的贡献主要集中在解析几何，微积分的早期发展，概率论，数论，除去数学之外，他在光学上也成就卓著。

解析几何

费马和笛卡尔都是公认的解析几何创始人，但他们的出发点是不同的，实际上，费马在解析几何上看得更远。费马对几何的兴趣来自于阿波罗尼奥斯的光辉数学思想，阿波罗尼奥斯是与欧几里得，阿基米德齐名的古希腊数学家，他的《圆锥曲线论》则代表了古希腊几何学的最高成就，而这样超前的几何学思想过了差不多一千八百年才得到重视和发展，而费马就是这样一个能意识到圆锥曲线重要性的数学家。

在费马的时代，阿波罗尼奥斯的名著《平面轨迹》完整版早已失传，费马则收集了其中的一些命题，并且尝试用代数知识来证明和解释这些定理，在此基础上，费马在1630年完成了论文《平面与立体轨迹引论》，总结了他在这方面的工作，但这篇论文直到费马去世十四年之后才公诸于世，但从这篇论文可以看出，费马在解析几何上的思想上开创性的。

费马指出：“两个未知量决定的—个方程，这个方程对应着一条轨迹，且可以由此描绘出一条直线或曲线”。费马的解析几何思想比笛卡尔要早，他可能是世界上第一个真正理解方程和几何之间联系的数学家。同时，费马超越笛卡尔的地方还在于，他考虑了三维的情形，也就是三个变量的方程，这对应这空间中的曲面，在1643年的一封信中，他讨论了如今解析几何中常见的椭球面，椭圆抛物面和双曲面等二次曲面，并且研究了它们的一般性质。

微积分

微积分无疑是十七世纪最重大的数学成就，而牛顿和莱布尼茨则是公认的微积分理论的创造者。但正如牛顿所言，他是站在巨人的肩膀之上才能取得这些成就，对于微积分而言，费马就是这样一位伟大的先驱。

求曲线的切线和函数的极值是微积分的一大来源，这些问题也关联到物理中的动力学问题。而费马的贡献在于他不仅找到了求给定曲线在一点切线的一般方法，更重要的是，他给出了函数取局部极值的必要条件——导数为零，也就是今天微积分课程中常见的“费马定理”，它也成为了日后各种中值定理的起源。牛顿后来也承认，他的微积分工作受到了费马思想的启发。

费马也思考过一些具体的定积分问题，但限于时代，他并没有像牛顿和莱布尼茨那样找到一般规律。

概率论

概率论在数学中的历史相当悠久，但差不多到了十五世纪，数学家才对“概率”给出了数学上的描述，这一问题的研究动力很大程度上来源于当时盛行的赌博活动，很多人都希望可以找到公平的赌博方法和赏金分配方式。到了十七世纪，帕斯卡和费马等数学家对概率进行了深入的思考，成为了这一领域的先驱，也初步建立起了概率论的数学基础。

在费马的时代，还没有“概率”这样的概念，但费马使用了拿可能出现的情况数量除以所有可能情况数量来表达一件事发生的可能性大小，这也就成了如今概率空间的雏形。

对于概率论，费马最大的贡献在于他和帕斯卡共同给出了“数学期望”这个重要的概念。十七世纪初流传着一个著名的关于赏金分配问题：甲乙二人赌博，他们两人每局获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

费马在与帕斯卡的通信中提出了以二人最终输赢的概率为标准来划分赏金，也即：甲最终获胜的概率为四分之三，而乙获胜的概率为四分之一，所以公平的分配方式为甲获得75法郎而乙获得25法郎。通过对这一问题的思考，“数学期望”的概念就这样诞生了，它在如今的概率论中占据着相当重要的地位。

数论

毫无疑问，费马以对数论的研究著称，而且数论也是他成就最大，影响最深远的数学领域，单就一个费马大定理便影响了数学界三百多年。小学或初中我们就听说过费马素数的故事，尽管费马在这个问题上犯了错误，但他对“数”的直觉却在同时代的数学家中无可匹敌。

费马对数论的兴趣来自于古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书，他大概在1628年获得了此书，之后几乎花费了一生来研读这本著作，而“费马大定理”正是来自此书，费马在这本书的空白处开了一个世纪“玩笑”，他在书的空白处声称方程“X^n+Y^n=Z^n”没有大于2的整数解，并且自己找到了一个简单的证明方法，但空白太小写不下了。后来大数学家欧拉在对这个问题百思不得其解的情况下，竟亲自跑到费马的故居去找这个所谓的“简单证明”。费马这样的“玩笑”后来也有了模仿者，英国大数学家哈代非常害怕坐船，于是每次坐船之前，他都会给同事发一份电报，声称自己已经解决了黎曼猜想，回来以后再给出证明细节，当然，只要他能活着回来，这样的证明就不可能存在。

通过研究《算术》中的不定方程 ，费马提出了解不定方程的无穷递降法，这成为了研究不定方程的重要基础。除此之外，费马还解决了许多具体而重要的问题：

费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。费马小定理后来由欧拉推广到了一般的形式。

形如4n+1的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推。

边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。

找到了第二对亲和数。

这里要特别提到亲和数，如果有两个数a和b，a的所有除本身以外的因数之和等于b，b的所有除本身以外的因数之和等于a，则称a,b是一对亲和数。历史上第一对亲和数220与284是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，毕达哥拉斯对此说道：“朋友是你灵魂的倩影，要像220与284一样亲密”。之后一千多年里，由于长期没有发现其他的亲和数，220和284这对亲和数被赋予了许多神秘的宗教色彩，甚至被别有用心之人拿来蛊惑人心。但费马凭借自己强大的数感找到了另外一对亲和数17296和18416，彻底粉碎那些蛊惑人心的谣言。自费马之后，越来越多的亲和数被发现，但这已经是另外一个故事了。

光学

除去数学之外，费马出人意料地在光学上有奠基性的贡献。在这一领域，费马最突出的成就是提出了最短时间原理：光线移动的路径是所需时间最少的路径。尽管费马原理在某些情形失效，但费马还是据此推导出了光的折射定律。后来的数学家受费马的启发，还提出更为一般的最小作用原理，适用范围也大大扩展。

结语

古往今来有无数的业余数学爱好者，但费马无疑是其中最出色的一个，他完全担得起“业余数学之王”这个名号，因为他的成就不仅在同时代的数学家中璀璨夺目，而且也深刻地影响了后世几百年。费马在他所涉猎的几个领域中，扮演的都是开创者的角色，他的鼎鼎大名不仅在过去耀眼，在今后也不会被磨灭，是值得后世永远纪念的伟大数学家。